Finite Mathematik Beispiele

$\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1) - x$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (\frac{x^{2} - 1}{x} - 1)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{x^{2} - 1}{x} - 1 > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x} - 1 > 0$

Schritt 2.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 > 0$

Schritt 2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.3.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x} + \frac{- x}{x} > 0$

Schritt 2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x + 1) (x - 1) - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.4.1

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - x + x - 1 - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4.2.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1 - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4.2.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 1 - x}{x} > 0$

Schritt 2.1.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - x - 1}{x} > 0$

Schritt 2.2

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.10

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.11

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} - 1}{x} - 1$ .

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Schritt 2.11.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.11.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 2.12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 2.13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 2.13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1}{- 3} - 1 > 0$

Schritt 2.13.1.3

Die linke Seite $- 3.\overline{6}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.13.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.31$

Schritt 2.13.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.31$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 0.31)}^{2} - 1}{- 0.31} - 1 > 0$

Schritt 2.13.2.3

Die linke Seite $1.91580645$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.13.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 2.13.3.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(1)}^{2} - 1}{1} - 1 > 0$

Schritt 2.13.3.3

Die linke Seite $- 1$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.13.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.13.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.13.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{4} - 1 > 0$

Schritt 2.13.4.3

Die linke Seite $2.75$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.13.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Falsch

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Wahr

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Falsch

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Wahr

$x < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ Falsch

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ Wahr

$0 < x < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Falsch

$x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ Wahr

Schritt 2.14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0$ oder $x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | \frac{1 - \sqrt{5}}{2} < x < 0, x > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}}$

Schritt 5